Δευτέρα, 28 Απριλίου 2014

Το παράδοξο του Monty Hall!

Ο Monte Halparin είναι ένας Καναδός παρουσιαστής (25.08.1925) γνωστός με το καλλιτεχνικό όνομα Μonty Hall.


Ο Μonty Hall λοιπόν, έγινε γνωστός στην Αμερική επειδή παρουσίαζε το τηλεπαιχνίδι "Let's make a deal", γνωστό στην Ελλάδα ως "Το μεγάλο παζάρι".

 Πιο γνωστός όμως έγινε γιατί ήταν η αιτία στο "πρόβλημα" που δημιούργησε στους μαθηματικούς της εποχής λόγο του τέλος κάθε του τηλεπαιχνιδιού το οποίο "πρόβλημα" πήρε και το όνομα του "Το Παράδοξο του Μonty Hall" (The Μonty Hall Paradox") μετά από το γράμμα που έστειλε ο στατιστικολόγος Steve Selvin στο περιοδικό American Statisticians αναφερόμενος σε αυτό.

Τι είναι λοιπόν το παράδοξο αυτό?

Αν θυμάστε καθόλου την ελληνική εκδοχή του παιχνιδιού, στο τέλος του παιχνιδιού, σου παρουσίαζαν 3 κλειστές κουρτίνες πίσω από τις οποίες υπήρχαν, το μεγάλο δώρο του παιχνιδιού, ένα μικρό δώρο και το Ζόνγκ και έπρεπε να επιλέξεις μία κουρτίνα.


Αφού επέλεγες, ο παρουσιαστής, που ήξερε που είναι το κάθε δώρο, άνοιγε μια από τις άλλες δύο κουρτίνες (προφανώς όχι αυτή με το μεγάλο δώρο) και σε ρωτούσε εάν θέλεις να μείνεις στην αρχική σου επιλογή ή να αλλάξεις κουρτίνα.



Και εδώ έρχεται το πρόβλημα.
Τι θα έκανες εσύ; Θα κρατούσες την αρχική σου επιλογή, θα άλλαζες επιλογή ή πιστεύεις ότι δεν έχει καμία διαφορά να μείνει η να αλλάξεις;

Θα σου δώσω λίγο χρόνο να σκεφτείς ακούγοντας το παρακάτω τραγούδι:


Οι περισσότεροι από εσάς πιστεύω είπατε ότι δεν έχει καμία διαφορά καθώς πλέον οι κουρτίνες είναι δύο και οι πιθανότητες 50 % να κερδίσεις ή να χάσεις... και έρχομαι εγώ (όχι εγώ δηλαδή, τα μαθηματικά) και σου λέω ότι κάνεις τραγικό λάθος και ότι αν αλλάξεις επιλογή έχεις ΔΙΠΛΑΣΙΕΣ
πιθανότητες να κερδίσεις!

Και εξηγούμαι!
Λοιπόν για να απλοποιήσουμε λίγο την κατάσταση, ας πούμε ότι πίσω από τις τρεις πόρτες υπάρχουν 2 Ζόνγκ και ένα αυτοκίνητο και ότι δεν υπάρχει μικρό δώρο.


Για να το αναλύσουμε θα πρέπει να δούμε τις πιθανότητες που έχει να κερδίσεις και να χάσεις αν αλλάξεις ή δεν αλλάξεις την αρχική σου επιλογή.

ΕΑΝ ΔΕΝ ΑΛΛΑΞΕΙΣ ΚΟΥΡΤΙΝΑ:

Από τρεις κλειστές πόρτες επιλέγεις μία που πιστεύεις ότι είναι το αυτοκίνητο. Όπως όλοι καταλαβαίνουμε η πιθανότητα να βρεις το αυτοκίνητο και όχι τα 2 Ζόνγκ είναι 1 στις 3, ή αλλιώς 1/3, ή αλλιώς 33.33%. Ανεξάρτητα με το τι κάνει ο παρουσιαστής μετά, εσύ επιλέγεις να μην αλλάξεις πόρτα άρα πάντα "παίζεις" με τις αρχικές σου πιθανότητες να κερδίσεις που είναι 33.33%

ΕΑΝ ΑΛΛΑΞΕΙΣ ΚΟΥΡΤΙΝΑ:

Εδώ είναι που γίνεται ενδιαφέρον και πρέπει να δούμε 2 επιλογές.

1) Έστω ότι ήσουν τυχερός και επέλεξες το αυτοκίνητο με την πρώτη! Τότε ο παρουσιαστής ανοίγει μια από τις άλλες δυο που ξέρει ότι έχουν Ζόνγκ, και σου δίνει την επιλογή να αλλάξεις κουρτίνα. Προφανώς εάν αλλάξεις κουρτίνα θα διαλέξεις το άλλο Ζόνγκ και θα χάσεις. ΠΑΝΤΑ. Άρα εάν επιλέξεις αρχικά το αυτοκίνητο (και αυτό είπαμε έχει 33.33% πιθανότητα να γίνει) και αλλάξεις την αρχική σου επιλογή, χάνεις πάντα!

2) Πάμε τώρα στην τελευταία και καλύτερη περίπτωση που είναι η αρχική σου επιλογή να ΜΗΝ είναι το αυτοκίνητο αλλά το Ζόνγκ. Η πιθανότητα να συμβεί αυτό είναι 2 στις 3 κουρτίνες, άρα 66.67% Τότε ο παρουσιαστής (που θυμίζουμε ότι ξέρει που είναι το δώρο), θα ανοίξει την κουρτίνα που έχει το άλλο Ζόνγκ αφήνοντας κλειστές την δικιά σου κουρτίνα (που έχει το Ζόνγκ) και την άλλη που έχει το αυτοκίνητο. Εάν εσύ τώρα αλλάξεις κουρτίνα τότε θα επιλέξεις το αυτοκίνητο. ΠΑΝΤΑ. Άρα εάν επιλέξεις αρχικά το Ζόνγκ (και αυτό επιάμε έχει 66.67% πιθανότητα να γίνει) και αλλάξεις την αρχική σου επιλογή, κερδίζεις πάντα!

Άρα για να το μαζέψουμε,  εάν αρχικά επιλέξεις το αυτοκίνητο (33.33% πιθανότητα να γίνει) και μετά αλλάξεις επιλογή θα χάσεις όλες τις φορές, ενώ εάν αρχικά επιλέξεις το Ζόνγκ (66.67% πιθανότητα να γίνει) και μετά αλλάξεις επιλογή, θα κερδίσεις όλες τις φορές. 

Άρα έχεις 66.67% να κερδίσεις όταν αποφασίσεις να αλλάξεις την αρχική σου επιλογή σε αντίθεση με το 33.33% όταν αποφασίσεις να μείνεις σε αυτήν!

Όλα αυτά βέβαια σε περίπτωση που ΔΕΝ είσαι μέντιουμ ή κάτι αντίστοιχο και το παιχνίδι ΔΕΝ είναι σικέ.

Maths don't lie...
People Do!

Υγ.
Αφιερωμένο στο Κωνσταντίνο που δεν με πιστεύει!

2 σχόλια:

  1. Πολύ ενδιαφέρων άρθρο. Για να καταλάβεις axel πόσο δύσκολο είναι να συλλάβεις αυτό το πρόβλημα (τουλάχιστον στην αρχή), θα σου γράψω μια δυο λεπτομέρειες από το βιβλίο "Ο άνθρωπος που αγαπούσε τους αριθμούς". Η πρώτη φορά που το ερώτημα απαντήθηκε ήταν στην στήλη "Ρωτήστε τη Μέριλιν" που διατηρούσε η Μέριλιν Βος Σάβαντ στο περιοδικό Parade, τις 09-09-1990. Η Μέριλιν ήταν γενικά μια αντιπαθητική για τους μαθηματικούς φυσιογνωμία της εποχής, επειδή χωρίς να είναι μαθηματικός διατηρούσε τη στήλη αυτή βασισμένη στο IQ 228 που υποστήριζε ότι είχε (καταγεγραμμένο και στο βιβλίο Γκίνες). Έλυσε λοιπόν το πρόβλημα όπως παρουσιάστηκε και πιο πάνω. Πολλοί μαθηματικοί της έστειλαν γράμματα οργισμένα, αλλά με απάντηση που έδωσε (2 φορές μέσα από την ίδια στήλη) τελικά τους έπεισε. Το παράξενο είναι ότι ακόμα και τρομερά μαθηματικά μυαλά, όπως ο Πολ Έρντος έκαναν πολύ καιρό να χωνέψουν την λύση, και διαφωνούσαν για καιρό. Να σημειώσω για τον Έρντος ότι ανάμεσα στους επιστήμονες των θετικών επιστημών υπάρχει μια άτυπη ιεραρχία ο "βαθμός Έρντος". Όποιος έχει συνδημοσιεύσει σε περιοδικό μαζί του έχει τον αριθμό 0. Όποιος δημοσίευσε κάτι με έναν που έχει τον αριθμό 0,έχει τον αριθμό Έρντος 1. Και ούτω καθ' εξής. Μάλιστα ήταν τέτοια η συνεισφορά του στα μαθηματικά (κυρίως στους πρώτους αριθμούς) που ο αριθμός Έρντος χρησιμοποιούνταν στα βιογραφικά των υπολοίπων σαν προσόν σε κρίσεις ακαδημαϊκών (ενώ ο Έρντος ήταν εν ζωή).

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Πολύ ενδιαφέρον και αυτό που λες και συ.
    Το πρώτο κομμάτι για την Μέριλιν το ήξερα καθώς και για την οργισμένη απάντηση των μαθηματικών της εποχής.
    Ότι ένας από αυτούς ήταν ο Έρντος δεν το ήξερα ούτε επίσης τον "βαθμό Έρντος"... (μην το πεις στην μάνα μου! χα χα!

    ΑπάντησηΔιαγραφή